Per fer qualsevol tipus d'operació matemàtica, procedirem a seguir la següent regla:
2. Números.
3. Lletres.
2.1 MCM
MCM és el mínim comú múltiple, el múltiple més petit comú entre dos valors.
Múltiples de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...
MCM(3, 4) = 12
2.2 MCD
MCD és el màxim comú divisor, el nombre més gran que divideix a la vegada dos valors.
Divisors de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
MCD(12, 18) = 6
3.1 Que es una fraccio
Una fracció representa una part d'un tot. Es pot expressar com:
\( \dfrac{a}{b} \), on:
- \( a \): numerador (quantes parts tenim)
- \( b \): denominador (en quantes parts s'ha dividit el tot)
3.2 Fraccions equivalents
Fraccions que representen la mateixa quantitat, tot i tenir numeradors i denominadors diferents.
Exemple:
3.3 Simplificació de fraccions
Consisteix a dividir el numerador i el denominador pel mateix nombre (el seu MCD):
3.4 Comparació de fraccions
Es poden comparar fraccions:
- Amb mateix denominador: es compara el numerador.
- Amb denominadors diferents: s'igualen els denominadors (mínim comú múltiple).
4.1 Simplificar
\[ \frac{12}{36} = \frac{12: \color{red}{3}}{36: \color{red}{3}} = \frac{4}{12} = \frac{4: \color{blue}{4}}{12: \color{blue}{4}} = \frac{1}{3} \]
4.2 Sumar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(3, 2) = 6
\[ \frac{1}{\color{red}{3}} + \frac{5}{\color{blue}{2}} = \frac{1\cdot \color{green}{2}}{\color{red}{3}\cdot \color{green}{2}} + \frac{5 \cdot \color{orange}{3}}{\color{blue}{2}\cdot \color{orange}{3}} = \frac{2 + 15}{6} = \frac{17}{6} \]
4.3 Restar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(2, 8) = 8
\[ \frac{3}{\color{red}{2}} - \frac{7}{\color{blue}{8}} = \frac{3 \cdot \color{green}{4}}{\color{red}{2}\cdot \color{green}{4}} - \frac{7 \cdot \color{orange}{1}}{\color{blue}{8}\cdot \color{orange}{1}} = \frac{12 - 7}{8} = \frac{5}{8} \]
4.4 Multiplicar
\[ \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{2} = \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 2} = \frac{4: \color{orange}{4}}{16: \color{orange}{4}} = \frac{1}{4} \]
4.5 Dividir
\[ \frac{4}{2} : \frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{8}} = \frac{4}{2} \cdot \frac{\color{blue}{8}}{\color{red}{1}} = \frac{32: \color{orange}{2}}{2: \color{orange}{2}} = \frac{16}{1} = 16 \]
Quan toqui fer un seguit d'operacions combinades haurem de seguir un ordre concret:
- 1. Parèntesis
- 2. Multiplicació / divisió
- 3. Suma / resta
Exemple:
\[ (3 + 2) \cdot 8 - 6 = 5 \cdot 8 - 6 = 40 - 6 = 34 \]
- 1. Parèntesi: 3 + 2 = 5
- 2. Multiplicació: 5 · 8 = 40
- 3. Resta: 40 − 6 = 34
6.1 Suma / Resta
- Signes iguals → suma
- Signes diferents → resta del gran menys el petit
- Signe final → el del número més gran
Exemples:
\[ (-5) + 3 = -2 \]
−5 és negatiu i +3 és positiu → fem resta: 5 − 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
\[ (-5) - 3 = -8 \]
−5 és negatiu i −3 és negatiu → fem suma: 5 + 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
6.2 Multiplicació / Divisió
- Signes iguals → positiu
- Signes diferents → negatiu
Exemples:
\[ (-2) \cdot 3 = -6 \]
−2 és negatiu i 3 és positiu: signes diferents dona negatiu.
\[ (-15) : (-3) = 5 \]
−15 és negatiu i −3 és negatiu: signes iguals dona positiu.
Per 2
Un número és divisible per 2 si l'últim dígit és parell (0, 2, 4, 6, 8).
Exemple: 246 → acaba en 6
Per 3
Un número és divisible per 3 si la suma dels seus dígits és divisible per 3.
Exemple: 123 → 1+2+3=6
Per 4
Un número és divisible per 4 si els dos últims dígits formen un número divisible per 4.
Exemple: 316 → 16 és divisible per 4
Per 5
Un número és divisible per 5 si l'últim dígit és 0 o 5.
Exemple: 75 → acaba en 5
Per 6
Un número és divisible per 6 si és divisible per 2 i 3 alhora.
Exemple: 132 → divisible per 2 (acaba en 2) i per 3 (1+3+2 = 6)
Per 7
Treu l’últim dígit, duplica’l i resta’l de la resta del número. Repeteix si cal. Si el resultat és divisible per 7, el número original també ho és.
Exemple: 203 → 20 − 2 · 3 = 14 (divisible per 7)
Per 8
Un número és divisible per 8 si els tres últims dígits formen un número divisible per 8.
Exemple: 1216 → 216 és divisible per 8
Per 9
Un número és divisible per 9 si la suma dels seus dígits és divisible per 9.
Exemple: 729 → 7+2+9=18
Per 10
Un número és divisible per 10 si l'últim dígit és 0.
Exemple: 340 → acaba en 0
Per 11
Suma i resta alternativament els dígits d'esquerra a dreta. Si el resultat és divisible per 11, també ho és el número.
Exemple: 121 → 1−2+1 = 0
\(\boxed{a^0 = 1 \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{{\color{green}a}^{\color{red}m} \cdot {\color{green}a}^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{{\color{red}m}+{\color{blue}n}}}\)
\(\boxed{\frac{{\color{green}a}^{\color{red}m}}{{\color{green}a}^{\color{blue}n}} = {\color{green}a}^{{\color{red}m}-{\color{blue}n}} \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{({\color{green}a}^{\color{red}m})^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{{\color{red}m} \cdot {\color{blue}n}}}\)
\(\boxed{({\color{green}a}{\color{orange}b})^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{\color{blue}n} \cdot {\color{orange}b}^{\color{blue}n}}\)
\(\boxed{\left(\frac{{\color{green}a}}{{\color{orange}b}}\right)^{\color{blue}n} = \frac{{\color{green}a}^{\color{blue}n}}{{\color{orange}b}^{\color{blue}n}} \quad (b \neq 0)}\)
\(\boxed{{\color{green}a}^{{\color{blue}n}} = \frac{1}{{\color{green}a}^{\color{blue}n}} \quad (a \neq 0)}\)
- Sigui \(a\) un nombre real i \(m, n\) nombres enters
- \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}} = {\color{red}a}^{\frac{{\color{blue}m}}{{\color{green}n}}}}\)
\(\boxed{(\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}})^{\color{blue}m} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}}}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{orange}b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}{\color{orange}b}}}\)
\(\boxed{\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}}}{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{orange}b}}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{{\color{red}a}}{{\color{orange}b}}} \quad (b \neq 0)}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{blue}m}]{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}}} = \sqrt[{\color{blue}m} \cdot {\color{green}n}]{{\color{red}a}}}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n} \cdot {\color{purple}k}]{{\color{red}a}^{{\color{blue}m} \cdot {\color{purple}k}}} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}}}\)
- Sigui \(a\) el radicand i \(m, n\) els índex
- El radicand no pot ser mai negatiu
- Si no s’indica l’índex vol dir que val 2
10.1 Parts d’un monomi
10.2 Suma i resta
- Només es poden sumar o restar monomis que siguin semblants, és a dir, que tinguin la mateixa part literal.
- Es sumen o resten els coeficients, mantenint la part literal.
Exemples:
\[ 3x + 5x = (3+5)x = 8x \]
\[ 4ab - 2a - ab = (4 - 1)ab -2a = 3ab -2a \]
10.3 Multiplicació i divisió
- Multipliquem o dividim els coeficients.
- Sumem (multiplicació) o restem (divisió) els exponents de les lletres iguals.
Exemple:
\[ (2x^3) \cdot (5x^2) = (2 \cdot 5) \cdot (x^3 \cdot x^2) = 10x^{3+2} = 10x^5 \]
\[ \frac{12x^5}{4x^2} = \left( \frac{12}{4} \right) \cdot x^{5 - 2} = 3x^3 \]
11.1 Quadrat d’una suma
\[ ({\color{red}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{red}a}^2 + 2 \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}1}+{\color{blue}2x})^2 = {\color{red}1}^2 + 2 \cdot {\color{red}1} \cdot {\color{blue}2x} + ({\color{blue}2x})^2 = 1 + 4x + 4x^2 \]
11.2 Quadrat d’una resta
\[ ({\color{red}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{red}a}^2 - 2 \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}1}-{\color{blue}3x})^2 = {\color{red}1}^2 - 2 \cdot {\color{red}1} \cdot {\color{blue}3x} + ({\color{blue}3x})^2 = 1 - 6x + 9x^2 \]
11.3 Producte de la suma per la resta
\[ ({\color{red}a}+{\color{blue}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{blue}b}) = {\color{red}a}^2 - {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}2x}+{\color{blue}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{blue}3}) = ({\color{red}2x})^2 - {\color{blue}3}^2 = 4x^2 - 9 \]
Per resoldre una equació hem de tenir els termes amb "x" tots a la mateixa banda de l’equació i els termes sense "x" a l’altra. Una vegada separats, hem de treure els números que acompanyin a la "x". Per moure seguim la següent regla:
- Possitiu → Negatiu
- Negatiu → Possitiu
- Multiplicació → Divisió
- Divisió → Multiplicació
Exemple:
\[ \begin{align*} 5x - 5 &= 2x + 4 \\ 5x - 2x &= 4 + 5 \quad &\text{(hem passat 2x i -5 a l’altre costat)} \\ 3x &= 9 \quad &\text{(Passem 3 a l’altre costat dividint)}\\ x &= \frac{9}{3} \\ x &= 3 \end{align*} \]
13.1 Definició
Pensarem en una funció com en una màquina que té una entrada \(x\), i una sortida \(f(x)\). Per una banda entra un número, dins de la màquina aquest número es processa, i a la sortida s’obté un altre número.
13.2 Funció afí
Una funció afí és una funció de la forma:
on:
- \( a \) és el pendent (indica si la recta puja o baixa)
- \( b \) és l’ordenada a l’origen (el punt on la recta talla l’eix Y)
Exemple:
14.1 Triangle
\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \] Si \( b = 3\,\text{cm} \) i \( h = 4\,\text{cm} \), \[ A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\,\text{cm}^2 \]
14.2 Quadrat
\[
A = a^2
\]
Si \( a = 5\,\text{cm} \),
\[
A = 5^2 = 25\,\text{cm}^2
\]
14.3 Rectangle
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
14.4 Paral·lelogram
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
14.5 Trapezi
\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] Si \( b_1 = 4\,\text{cm} \), \( b_2 = 3\,\text{cm} \), \( h = 6\,\text{cm} \), \[ A = \frac{(4 + 3) \cdot 6}{2} = 21\,\text{cm}^2 \]
14.6 Rombe
\[ A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Si \( d_1 = 5\,\text{cm} \) i \( d_2 = 4 \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10\,\text{cm}^2 \]
14.7 Pentàgon regular
\[ A = \dfrac{P \cdot ap}{2} \] Si \( P = 5\,\text{cm} \) i \( ap = 2\,\text{cm} \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 2}{2} = 5\,\text{cm}^2 \]
14.8 Cercle
\[ A = \pi r^2 \] Si \( r = 5\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \approx 78.54\,\text{cm}^2 \]
15.1 Cub
\[ A = a^3 \] Si \( a = 3\,\text{cm} \), \[ A = 3^3 = 27\,\text{cm}^3 \]
15.2 Prisma rectangular
\[ A = l \cdot h \cdot w \] Si \( l = 3\,\text{cm} \), \( h = 2\,\text{cm} \), i \( w = 5\,\text{cm} \), \[ A = 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^3 \]
15.3 Cilindre
\[ A = \pi \cdot r^2 \cdot h \] Si \( r = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi = 150.8\,\text{cm}^3 \]
15.4 Con
\[ A = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \] Si \( r = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi = 50.3\,\text{cm}^3 \]
15.5 Piràmide quadràda
\[ V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \] Si \( a = 2\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ V = \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot 3 = 4\,\text{cm}^3 \]
15.6 Esfera
\[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \] Si \( r = 3\,\text{cm} \), \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 12\pi = 37.7\,\text{cm}^3 \]
Cada pas cap a la dreta = multiplicar.
16.1 Longitud
Per 10 per cada salt d’unitats:
Exemple:
152 cm → m
Tenim 2 salts: cm → dm → m, per tant dividim per 100
\[ 152\,\text{cm} = \frac{152}{100} = 1.52\,\text{m} \]
16.2 Superfície
Per 100 per cada salt d’unitats:
Exemple:
1,2 m² → cm²
Tenim 2 salts: m² → dm² → cm², per tant multipliquem per 10 000
\[ 1{,}2\,\text{m}^2 = 1{,}2 \cdot 10\,000 = 12\,000\,\text{cm}^2 \]
16.3 Volum
Multiplicar o dividir per 1000 per cada salt d’unitats:
Exemple:
1,5 m³ → dm³
Tenim 1 salt: m³ → dm³, per tant multipliquem per 1 000
\[ 1{,}5\,\text{m}^3 = 1{,}5 \cdot 1\,000 = 1\,500\,\text{dm}^3 \]
17.1 Mitjana
La mitjana és el resultat de sumar tots els valors i dividir entre la quantitat total de dades.
Exemple:
Notes d’un alumne: \( 6,\ 7,\ 8,\ 9 \)
\[ \text{Mitjana} = \frac{6 + 7 + 8 + 9}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \]
17.2 Mediana
La mediana és el valor que queda al mig quan les dades estan ordenades.
Si hi ha un nombre parell de valors, és la mitjana dels dos del mig.
Exemple 1 (nombre senar de valors):
\( 3,\ {\color{blue}{5}},\ 7 \Rightarrow \) la mediana és \( 5 \)
Exemple 2 (nombre parell de valors):
\( 2,\ {\color{blue}{4},\ \color{blue}{6}},\ 8 \Rightarrow \text{mediana} = \frac{4+6}{2} = 5 \)
17.3 Moda
La moda és el valor que es repeteix més vegades. Pot haver-hi més d’una moda o cap.
Exemple 1:
Dades: \( 2,\ {\color{blue}{3},\ \color{blue}{3}},\ 4,\ 5 \Rightarrow \text{Moda: } 3 \)
Exemple 2 (sense moda):
Dades: \( 5,\ 6,\ 7 \Rightarrow \) No hi ha cap valor repetit
Regla de La Place
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de casos favorables}}{\text{Nombre total de casos possibles}} \]
Exemple 1: Tirar un dau
Quina és la probabilitat de treure un nombre parell?
- Casos possibles: \( \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} \Rightarrow 6 \)
- Casos favorables: \( \{2,\ 4,\ 6\} \Rightarrow 3 \)
\[ P(\text{parell}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]