1. Determinant del transposat

El determinant d’una matriu és igual al determinant del seu transposat.

\( |A| = |A^T| \)

Exemple:

Si \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \), llavors \( A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), i \( |A| = |A^T| = 5 \).

2. Fila o columna de zeros

Si una matriu quadrada té una fila o columna de zeros, el seu determinant és zero.

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = 0 \)

3. Intercanvi de dues files o columnes

Si es permuten dues files (o columnes) d’una matriu, el determinant canvia de signe.

\( |A'| = -|A| \)

Exemple:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = -2 \)
Intercanviem les files:
\( A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow |A'| = 2 \)

4. Files o columnes iguals

Si dues files (o columnes) d’una matriu són iguals, el determinant és zero.

\( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = 0 \)

5. Multiplicació per un escalar

Si multipliquem tots els elements d’una fila (o columna) per un nombre \( k \), el determinant queda multiplicat per \( k \).

\( F_i' = k \cdot F_i \Rightarrow |A'| = k \cdot |A| \)

Exemple:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, |A| = -2 \)
Multipliquem la primera fila per 3 mantenint la segona igual :
\( A' = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |A'| = -6 \)

6. Files o columnes proporcionals

Si dues files (o columnes) són proporcionals, el determinant és zero.

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = 0 \)

7. Suma de files o columnes

Si una fila és la suma de dues altres, el determinant pot expressar-se com la suma dels determinants corresponents.

\( F_i = F_i' + F_i'' \Rightarrow |A| = |A'| + |A''| \)

Exemple:

\( F_1 = (1,2)+(3,4)=(4,6) \)
\( |A| = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = (-3)+(1)=-2 \)

8. Sumar una combinació lineal

Si a una fila li sumem una combinació lineal de les altres, el determinant no varia.

\( F_i' = F_i + k \cdot F_j \Rightarrow |A'| = |A| \)

Exemple:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), afegim \( 2F_1 \) a \( F_2 \):
\( A' = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow |A'| = -2 = |A| \)

9. Fila o columna combinació lineal

Si una fila (o columna) és una combinació lineal de les altres, el determinant és zero.

\( F_3 = αF_1 + βF_2 \Rightarrow |A| = 0 \)

Exemple:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 3 & 12 \end{bmatrix}, \quad F_3 = F_1 + F_2 \Rightarrow |A| = 0 \)

10. Determinant del producte

El determinant del producte de dues matrius és igual al producte dels seus determinants.

\( |A \cdot B| = |A| \cdot |B| \)

Exemple:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( |A| = -2, |B| = -1 \Rightarrow |AB| = 2 = (-2)(-1) \)