Per fer qualsevol tipus d'operació matemàtica, procedirem a seguir la següent regla:
2. Números.
3. Lletres.
2.1 MCM
MCM és el mínim comú múltiple, el múltiple més petit comú entre dos valors.
Múltiples de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...
MCM(3, 4) = 12
2.2 MCD
MCD és el màxim comú divisor, el nombre més gran que divideix a la vegada dos valors.
Divisors de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
MCD(12, 18) = 6
3.1 Simplificar
\[ \frac{12}{36} = \frac{12: \color{red}{3}}{36: \color{red}{3}} = \frac{4}{12} = \frac{4: \color{blue}{4}}{12: \color{blue}{4}} = \frac{1}{3} \]
3.2 Sumar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(3, 2) = 6
\[ \frac{1}{\color{red}{3}} + \frac{5}{\color{blue}{2}} = \frac{1\cdot \color{green}{2}}{\color{red}{3}\cdot \color{green}{2}} + \frac{5 \cdot \color{orange}{3}}{\color{blue}{2}\cdot \color{orange}{3}} = \frac{2 + 15}{6} = \frac{17}{6} \]
3.3 Restar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(2, 8) = 8
\[ \frac{3}{\color{red}{2}} - \frac{7}{\color{blue}{8}} = \frac{3 \cdot \color{green}{4}}{\color{red}{2}\cdot \color{green}{4}} - \frac{7 \cdot \color{orange}{1}}{\color{blue}{8}\cdot \color{orange}{1}} = \frac{12 - 7}{8} = \frac{5}{8} \]
3.4 Multiplicar
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \]
3.5 Dividir
\[ \frac{3}{2} : \frac{\color{red}{7}}{\color{blue}{5}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\color{blue}{5}}{\color{red}{7}} = \frac{15}{14} \]
Quan toqui fer un seguit d'operacions combinades haurem de seguir un ordre concret:
- 1. Parèntesis
- 2. Multiplicació / divisió
- 3. Suma / resta
Exemple:
\[ (3 + 2) \cdot 8 - 6 = 5 \cdot 8 - 6 = 40 - 6 = 34 \]
- 1. Parèntesi: 3 + 2 = 5
- 2. Multiplicació: 5 · 8 = 40
- 3. Resta: 40 − 6 = 34
5.1 Suma / Resta
- Signes iguals → suma
- Signes diferents → resta del gran menys el petit
- Signe final → el del número més gran
Exemples:
\[ (-5) + 3 = -2 \]
−5 és negatiu i +3 és positiu → fem resta: 5 − 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
\[ (-5) - 3 = -8 \]
−5 és negatiu i −3 és negatiu → fem suma: 5 + 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
5.2 Multiplicació / Divisió
- Signes iguals → positiu
- Signes diferents → negatiu
Exemples:
\[ (-2) \cdot 3 = -6 \]
−2 és negatiu i 3 és positiu: signes diferents dona negatiu.
\[ (-15) : (-3) = 5 \]
−15 és negatiu i −3 és negatiu: signes iguals dona positiu.
Per 2
Un número és divisible per 2 si l'últim dígit és parell (0, 2, 4, 6, 8).
Exemple: 246 → acaba en 6
Per 3
Un número és divisible per 3 si la suma dels seus dígits és divisible per 3.
Exemple: 123 → 1+2+3=6
Per 4
Un número és divisible per 4 si els dos últims dígits formen un número divisible per 4.
Exemple: 316 → 16 és divisible per 4
Per 5
Un número és divisible per 5 si l'últim dígit és 0 o 5.
Exemple: 75 → acaba en 5
Per 6
Un número és divisible per 6 si és divisible per 2 i 3 alhora.
Exemple: 132 → divisible per 2 (acaba en 2) i per 3 (1+3+2 = 6)
Per 7
Treu l’últim dígit, duplica’l i resta’l de la resta del número. Repeteix si cal. Si el resultat és divisible per 7, el número original també ho és.
Exemple: 203 → 20 − 2 · 3 = 14 (divisible per 7)
Per 8
Un número és divisible per 8 si els tres últims dígits formen un número divisible per 8.
Exemple: 1216 → 216 és divisible per 8
Per 9
Un número és divisible per 9 si la suma dels seus dígits és divisible per 9.
Exemple: 729 → 7+2+9=18
Per 10
Un número és divisible per 10 si l'últim dígit és 0.
Exemple: 340 → acaba en 0
Per 11
Suma i resta alternativament els dígits d'esquerra a dreta. Si el resultat és divisible per 11, també ho és el número.
Exemple: 121 → 1−2+1 = 0
7.1 Triangle
\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \] Si \( b = 3\,\text{cm} \) i \( h = 4\,\text{cm} \), \[ A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\,\text{cm}^2 \]
7.2 Quadrat
\[
A = a^2
\]
Si \( a = 5\,\text{cm} \),
\[
A = 5^2 = 25\,\text{cm}^2
\]
7.3 Rectangle
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
7.4 Paral·lelogram
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
7.5 Trapezi
\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] Si \( b_1 = 4\,\text{cm} \), \( b_2 = 3\,\text{cm} \), \( h = 6\,\text{cm} \), \[ A = \frac{(4 + 3) \cdot 6}{2} = 21\,\text{cm}^2 \]
7.6 Rombe
\[ A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Si \( d_1 = 5\,\text{cm} \) i \( d_2 = 4 \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10\,\text{cm}^2 \]
7.7 Pentàgon regular
\[ A = \dfrac{P \cdot ap}{2} \] Si \( P = 5\,\text{cm} \) i \( ap = 2\,\text{cm} \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 2}{2} = 5\,\text{cm}^2 \]
7.8 Cercle
\[ A = \pi r^2 \] Si \( r = 5\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \approx 78.54\,\text{cm}^2 \]
Cada pas cap a la dreta = multiplicar.
8.1 Longitud
Per 10 per cada salt d’unitats:
Exemple:
152 cm → m
Tenim 2 salts: cm → dm → m, per tant dividim per 100
\[ 152\,\text{cm} = \frac{152}{100} = 1.52\,\text{m} \]
8.2 Superfície
Per 100 per cada salt d’unitats:
Exemple:
1,2 m² → cm²
Tenim 2 salts: m² → dm² → cm², per tant multipliquem per 10 000
\[ 1{,}2\,\text{m}^2 = 1{,}2 \cdot 10\,000 = 12\,000\,\text{cm}^2 \]
8.3 Volum
Multiplicar o dividir per 1000 per cada salt d’unitats:
Exemple:
1,5 m³ → dm³
Tenim 1 salt: m³ → dm³, per tant multipliquem per 1 000
\[ 1{,}5\,\text{m}^3 = 1{,}5 \cdot 1\,000 = 1\,500\,\text{dm}^3 \]