Per fer qualsevol tipus d'operació matemàtica, procedirem a seguir la següent regla:
2. Números.
3. Lletres.
2.1 Simplificar
\[ \frac{12}{36} = \frac{12: \color{red}{3}}{36: \color{red}{3}} = \frac{4}{12} = \frac{4: \color{blue}{4}}{12: \color{blue}{4}} = \frac{1}{3} \]
2.2 Sumar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(3, 2) = 6
\[ \frac{1}{\color{red}{3}} + \frac{5}{\color{blue}{2}} = \frac{1\cdot \color{green}{2}}{\color{red}{3}\cdot \color{green}{2}} + \frac{5 \cdot \color{orange}{3}}{\color{blue}{2}\cdot \color{orange}{3}} = \frac{2 + 15}{6} = \frac{17}{6} \]
2.3 Restar
Mirem el MCM dels denominadors: MCM(2, 8) = 8
\[ \frac{3}{\color{red}{2}} - \frac{7}{\color{blue}{8}} = \frac{3 \cdot \color{green}{4}}{\color{red}{2}\cdot \color{green}{4}} - \frac{7 \cdot \color{orange}{1}}{\color{blue}{8}\cdot \color{orange}{1}} = \frac{12 - 7}{8} = \frac{5}{8} \]
2.4 Multiplicar
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \]
2.5 Dividir
\[ \frac{3}{2} : \frac{\color{red}{7}}{\color{blue}{5}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\color{blue}{5}}{\color{red}{7}} = \frac{15}{14} \]
Quan toqui fer un seguit d'operacions combinades haurem de seguir un ordre concret:
- 1. Parèntesis
- 2. Multiplicació / divisió
- 3. Suma / resta
Exemple:
\[ (3 + 2) \cdot 8 - 6 = 5 \cdot 8 - 6 = 40 - 6 = 34 \]
- 1. Parèntesi: 3 + 2 = 5
- 2. Multiplicació: 5 · 8 = 40
- 3. Resta: 40 − 6 = 34
4.1 Suma / Resta
- Signes iguals → suma
- Signes diferents → resta del gran menys el petit
- Signe final → el del número més gran
Exemples:
\[ (-5) + 3 = -2 \]
−5 és negatiu i +3 és positiu → fem resta: 5 − 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
\[ (-5) - 3 = -8 \]
−5 és negatiu i −3 és negatiu → fem suma: 5 + 3
5 és el més gran i és negatiu → per tant dona negatiu
4.2 Multiplicació / Divisió
- Signes iguals → positiu
- Signes diferents → negatiu
Exemples:
\[ (-2) \cdot 3 = -6 \]
−2 és negatiu i 3 és positiu: signes diferents dona negatiu.
\[ (-15) : (-3) = 5 \]
−15 és negatiu i −3 és negatiu: signes iguals dona positiu.
\(\boxed{a^0 = 1 \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{{\color{green}a}^{\color{red}m} \cdot {\color{green}a}^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{{\color{red}m}+{\color{blue}n}}}\)
\(\boxed{\frac{{\color{green}a}^{\color{red}m}}{{\color{green}a}^{\color{blue}n}} = {\color{green}a}^{{\color{red}m}-{\color{blue}n}} \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{({\color{green}a}^{\color{red}m})^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{{\color{red}m} \cdot {\color{blue}n}}}\)
\(\boxed{({\color{green}a}{\color{orange}b})^{\color{blue}n} = {\color{green}a}^{\color{blue}n} \cdot {\color{orange}b}^{\color{blue}n}}\)
\(\boxed{\left(\frac{{\color{green}a}}{{\color{orange}b}}\right)^{\color{blue}n} = \frac{{\color{green}a}^{\color{blue}n}}{{\color{orange}b}^{\color{blue}n}} \quad (b \neq 0)}\)
\(\boxed{{\color{green}a}^{{\color{blue}-n}} = \frac{1}{{\color{green}a}^{\color{blue}n}} \quad (a \neq 0)}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}} = {\color{red}a}^{\frac{{\color{blue}m}}{{\color{green}n}}}}\)
\(\boxed{(\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}})^{\color{blue}m} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}}}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{orange}b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}{\color{orange}b}}}\)
\(\boxed{\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}}}{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{orange}b}}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{{\color{red}a}}{{\color{orange}b}}} \quad (b \neq 0)}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{blue}m}]{\sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}}} = \sqrt[{\color{blue}m} \cdot {\color{green}n}]{{\color{red}a}}}\)
\(\boxed{\sqrt[{\color{green}n} \cdot {\color{purple}k}]{{\color{red}a}^{{\color{blue}m} \cdot {\color{purple}k}}} = \sqrt[{\color{green}n}]{{\color{red}a}^{\color{blue}m}}}\)
- Sigui \(a\) el radicand i \(m, n\) els índex
- El radicand no pot ser mai negatiu
- Si no s’indica l’índex vol dir que val 2
7.1 Parts d’un monomi
7.2 Suma i resta
- Només es poden sumar o restar monomis que siguin semblants, és a dir, que tinguin la mateixa part literal.
- Es sumen o resten els coeficients, mantenint la part literal.
Exemples:
\[ 3x + 5x = (3+5)x = 8x \]
\[ 4ab - 2a - ab = (4 - 1)ab -2a = 3ab -2a \]
7.3 Multiplicació i divisió
- Multipliquem o dividim els coeficients.
- Sumem (multiplicació) o restem (divisió) els exponents de les lletres iguals.
Exemple:
\[ (2x^3) \cdot (5x^2) = (2 \cdot 5) \cdot (x^3 \cdot x^2) = 10x^{3+2} = 10x^5 \]
\[ \frac{12x^5}{4x^2} = \left( \frac{12}{4} \right) \cdot x^{5 - 2} = 3x^3 \]
8.1 Quadrat d’una suma
\[ ({\color{red}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{red}a}^2 + 2 \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}1}+{\color{blue}2x})^2 = {\color{red}1}^2 + 2 \cdot {\color{red}1} \cdot {\color{blue}2x} + ({\color{blue}2x})^2 = 1 + 4x + 4x^2 \]
8.2 Quadrat d’una resta
\[ ({\color{red}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{red}a}^2 - 2 \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}1}-{\color{blue}3x})^2 = {\color{red}1}^2 - 2 \cdot {\color{red}1} \cdot {\color{blue}3x} + ({\color{blue}3x})^2 = 1 - 6x + 9x^2 \]
8.3 Diferencia de quadrats
\[ ({\color{red}a}+{\color{blue}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{blue}b}) = {\color{red}a}^2 - {\color{blue}b}^2 \]
\[ ({\color{red}2x}+{\color{blue}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{blue}3}) = ({\color{red}2x})^2 - {\color{blue}3}^2 = 4x^2 - 9 \]
- Sigui \(a\) un nombre real i \(m, n\) nombres enters
- \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\)
Per resoldre una equació hem de tenir els termes amb "x" tots a la mateixa banda de l'equació i els termes sense "x" a l'altra. Una vegada separats, hem de treure els números que acompanyin a la "x". Per moure seguim la següent regla:
- Positiu → Negatiu
- Negatiu → Positiu
- Multiplicació → Divisió
- Divisió → Multiplicació
9.1 Sense fraccions
Exemple:
\[ \begin{aligned} 5x - 5 &= 2x + 4 \\ 5x - 2x &= 4 + 5 \quad &\text{(hem passat } 2x \text{ i } -5 \text{ a l'altre costat)} \\ 3x &= 9 \quad &\text{(Passem } 3 \text{ a l'altre costat dividint)} \\ x &= \frac{9}{3} \\ x &= 3 \end{aligned} \]
9.2 Amb fraccions
Exemple:
\[ \begin{aligned} \frac{2x+1}{3} - \frac{5}{2} &= \frac{x-1}{2} + 4 \\ \frac{(2x+1)\cdot \color{red}{2}}{3\cdot \color{red}{2}} - \frac{5\cdot \color{red}{3}}{2\cdot \color{red}{3}} &= \frac{(x-1)\cdot \color{red}{3}}{2 \cdot \color{red}{3}} + \frac{4\cdot \color{red}{6}}{1\cdot \color{red}{6}} \\ \frac{(2x+1)\cdot 2}{6} - \frac{15}{6} &= \frac{(x-1)\cdot 3}{6} + \frac{24}{6} \\ 4x + 2 - 15 &= 3x - 3 + 24 \\ 4x - 3x &= -3 + 24 - 2 + 15 \\ x &= 34 \end{aligned} \]
Els sistemes de 2 incògnites i 2 equacions tenen diversos mètodes per resoldre'ls:
10.1 Igualació
- Aïllar la mateixa lletra de les 2 equacions
- Igualar les expressions obtingudes
- Resoldre l'equació de 1r grau
- Calcular l'altra incògnita
Exemple:
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x - 3y &= -2 \end{aligned} \right. \]
Pas 1:
\[ \left\{ \begin{aligned} x &=\frac{3-y}{2} \\ x &=-2+3y \end{aligned} \right. \]
Pas 2:
\[ \frac{3-y}{2}=-2+3y \]
Pas 3:
\[ 3-y= 2(-2+3y) \] \[ 3-y=-4+6y \] \[ 3+4=6y+y \] \[ 7=7y \] \[ \frac{7}{7}=1=y \]
Pas 4:
\[ x=-2+3y=-2+3\cdot 1=1 \]
10.2 Reducció
- Conseguir el mateix coeficient amb símbol contrari en les dues equacions d'una de les incògnites
- Sumar les equacions
- Resoldre l'equació de 1r grau
- Calcular l'altra incògnita
Exemple:
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x - 3y &= -2 \end{aligned} \right. \]
Pas 1:
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ -2x + 6y &= 4 \quad &\text{(hem multiplicat l'equació per -2)} \\ \end{aligned} \right. \]
Pas 2:
\[ 2x + y + (-2x) +6y = 3 + 4 \] \[ 0x + 7y =7 \] \[ 7y =7 \]
Pas 3:
\[ 7y=7 \] \[ y=\frac{7}{7}=1 \]
Pas 4:
\[ x-3y=-2 \] \[ x= -2 + 3y= -2 + 3\cdot 1 = 1 \]
10.3 Substitució
- Aïllar una de les lletres d'una de les dues equacions
- Substituir l'expressió obtinguda a l'altra equació
- Resoldre l'equació de 1r grau
- Calcular l'altra incògnita
\[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x - 3y &= -2 \end{aligned} \right. \]
Pas 1: (\(y\) de la primera equació)
\[ y=3-2x \]
Pas 2: (a la segona equació)
\[ x - 3 \cdot (3-2x) =-2 \]
Pas 3:
\[ x -9 +6x =-2 \] \[ x +6x =-2+9 \] \[ 7x=7 \] \[ x=\frac{7}{7}=1 \]
Pas 4:
\[ y= 3-2x =3-2\cdot 1= 1 \]
11.1 Definició
Pensarem en una funció com en una màquina que té una entrada (x), i una sortida f(x). Per una banda entra un número, dins de la màquina aquest número es processa, i a la sortida s'obté un altre número.
11.2 Funció afí
Una funció afí és una funció de la forma:
\[ f(x) = ax + b \]
On:
- a és el pendent (indica si la recta puja o baixa)
- b és l’ordenada a l’origen (el punt on la recta talla l’eix Y)
Exemple:
\[ f(x)=2x -1 \]
11.3 Funció quadràtica
Una funció quadràtica és una funció de la forma:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{amb } a \neq 0 \]
On:
- a és el coeficient que determina si la paràbola obre cap amunt (a>0) o cap avall (a<0).
- b influeix en la posició horitzontal del vèrtex.
- c és l'ordenada a l'origen, el punt on la paràbola talla l'eix y.
- Vèrtex: \[ \left(-\frac{b}{2a}, \, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \]
Exemple
La funció
\[
f(x) = x^2 - 4x + 3
\]
té forma de paràbola que obre cap amunt (a=1>0).
Vermell: ordenada a l'origen (0,3).
Blau: vèrtex (2,-1).
Taronja: punts de tall eix x (1,0) i (3,0).
12.1 Triangle
\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \] Si \( b = 3\,\text{cm} \) i \( h = 4\,\text{cm} \), \[ A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\,\text{cm}^2 \]
12.2 Quadrat
\[
A = a^2
\]
Si \( a = 5\,\text{cm} \),
\[
A = 5^2 = 25\,\text{cm}^2
\]
12.3 Rectangle
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
12.4 Paral·lelogram
\[ A = b \cdot h \] Si \( b = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2 \]
12.5 Trapezi
\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] Si \( b_1 = 4\,\text{cm} \), \( b_2 = 3\,\text{cm} \), \( h = 6\,\text{cm} \), \[ A = \frac{(4 + 3) \cdot 6}{2} = 21\,\text{cm}^2 \]
12.6 Rombe
\[ A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Si \( d_1 = 5\,\text{cm} \) i \( d_2 = 4 \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10\,\text{cm}^2 \]
12.7 Pentàgon regular
\[ A = \dfrac{P \cdot ap}{2} \] Si \( P = 5\,\text{cm} \) i \( ap = 2\,\text{cm} \), \[ A = \dfrac{5 \cdot 2}{2} = 5\,\text{cm}^2 \]
12.8 Cercle
\[ A = \pi r^2 \] Si \( r = 5\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \approx 78.54\,\text{cm}^2 \]
13.1 Cub
\[ A = a^3 \] Si \( a = 3\,\text{cm} \), \[ A = 3^3 = 27\,\text{cm}^3 \]
13.2 Prisma rectangular
\[ A = l \cdot h \cdot w \] Si \( l = 3\,\text{cm} \), \( h = 2\,\text{cm} \), i \( w = 5\,\text{cm} \), \[ A = 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^3 \]
13.3 Cilindre
\[ A = \pi \cdot r^2 \cdot h \] Si \( r = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi = 150.8\,\text{cm}^3 \]
13.4 Con
\[ A = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \] Si \( r = 4\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ A = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi = 50.3\,\text{cm}^3 \]
13.5 Piràmide quadràda
\[ V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \] Si \( a = 2\,\text{cm} \) i \( h = 3\,\text{cm} \), \[ V = \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot 3 = 4\,\text{cm}^3 \]
13.6 Esfera
\[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \] Si \( r = 3\,\text{cm} \), \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 12\pi = 37.7\,\text{cm}^3 \]
14.1 Teorem de pitàgoras
\[ (\text{hipotenusa})^2 = (\text{catet 1})^2 + (\text{catet 2})^2 \] \[ {\color{blue}5}^2 = {\color{red}3}^2 + {\color{green}4}^2 \]
14.2 Triangles semblants
Dos triangles són semblants quan tenen la mateixa forma, encara que no tinguin la mateixa mida. Això passa quan es compleixen les condicions següents:
Condicions de semblança
- Els seus angles són iguals.
- Els seus costats corresponents són proporcionals:
\[ \frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’} = k \]
Propietats principals
- La relació de semblança es diu raó de semblança (k).
- L’àrea d’un triangle semblant és proporcional al quadrat de la raó:
\[ \text{Àrea}_{\triangle 1} = k^2 \cdot \text{Àrea}_{\triangle 2} \]
- El volum d’un triangle semblant és proporcional al cub de la raó:
\[ \text{Volum}_{\triangle 1} = k^3 \cdot \text{Volum}_{\triangle 2} \]
15.1 Sinus
\[ \sin({\color{purple} \alpha}) = \frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}} = \frac{{\color{red}b}}{{\color{blue}a}} \]
15.2 Cosinus
\[ \cos({\color{purple} \alpha}) = \frac{\text{catet adjacent}}{\text{hipotenusa}} = \frac{{\color{green}c}}{{\color{blue}a}} \]
15.3 Tangent
\[ \tan({\color{purple} \alpha}) = \frac{\text{catet oposat}}{\text{catet adjacent}} = \frac{{\color{red}b}}{{\color{green}c}} \]
- Recorda comprovar les unitats angulars de la calculadora
- Per recordar les fórmules pots utilitzar: SOH CAH TOA
16.1 Mitjana
La mitjana és el resultat de sumar tots els valors i dividir entre la quantitat total de dades.
Exemple:
Notes d’un alumne: \( 6,\ 7,\ 8,\ 9 \)
\[ \text{Mitjana} = \frac{6 + 7 + 8 + 9}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \]
16.2 Mediana
La mediana és el valor que queda al mig quan les dades estan ordenades. Si hi ha un nombre parell de valors, és la mitjana dels dos del mig.
Exemple 1 (nombre senar de valors):
\( 3,\ {\color{blue}5},\ 7 \Rightarrow \) la mediana és \( 5 \)
Exemple 2 (nombre parell de valors):
\( 2,\ {\color{blue}4},\ {\color{blue}6},\ 8 \Rightarrow \text{mediana} = \frac{4+6}{2} = 5 \)
16.3 Moda
La moda és el valor que es repeteix més vegades. Pot haver-hi més d’una moda o cap.
Exemple 1:
Dades: \( 2,\ {\color{blue}3},\ {\color{blue}3},\ 4,\ 5 \Rightarrow \) Moda: \( 3 \)
Exemple 2 (sense moda):
Dades: \( 5,\ 6,\ 7 \Rightarrow \) No hi ha cap valor repetit
17.1 Regla de La Place
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de casos favorables}}{\text{Nombre total de casos possibles}} \]
Exemple 1: Tirar un dau
Quina és la probabilitat de treure un nombre parell?
- Casos possibles: \( \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} \Rightarrow 6 \)
- Casos favorables: \( \{2,\ 4,\ 6\} \Rightarrow 3 \)
\[ P(\text{parell}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]